联系电话:025-86455271校长信箱  个人中心

敢于将课堂还给学生

作者: 来源: 发布时间:2018-09-20 阅读次数:14

敢于将课堂还给学生

                                孙晶

【摘要】

传统的授课模式固然可以比较精确的完成知识点的讲解,但往往忽视学生的知识架构的形成。大胆的将课堂探索过程交还给学生,是新课程模式下的创新之举;敢于放手,是培养锻炼学生思维的必经之路。学生的自我探索和感知过程是任何讲授式的教学过程所能替代。

【关键词】

授课、自我探索、思维能力培养。

 

圆锥曲线一直是高考中的难点,教学中的重点。在学生进行了椭圆、双曲线及抛物线的各自定义、几何性质的学习之后,教科书中安排了一节《圆锥曲线的共同性质》的学习内容。椭圆、双曲线、抛物线都是由一个平面截一个圆锥面得到的,统称为圆锥曲线,那么这三种圆锥曲线到底具有怎么的共同性质呢?

教科书中是通过抛物线的定义“平面内到一个定点F的距离和到一条定直线L(F不在L上)的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线”引出思考,如果这个比值不为1时,动点P的轨迹又是什么曲线呢?接着通过几何画板展示了比值分别为1/2和2时,轨迹的形状,恰好分别是椭圆和双曲线。于是开始研究椭圆方程推导过程中的方程变化情况如下:


希望学生可以从中发现椭圆中的焦点和准线的存在。

备课至此,不觉有些疑问,对于比值不为1后其他情况猜想,很容易去分类讨论>1与<1两种情况,从几何画板的展示中,也以非常明确的能够知晓最终的答案。但是从椭圆方程的化简过程中如何能想到将化简为形式,为什么一定要凑这个形式呢?为什么直线方程形式必须凑成呢?如果我配凑出其他的形式,是不是又会引发出其他的性质呢?可能这一系列的问题,对于初学圆锥曲线的学生来说并非能够顺利解决并能理解到位吧,所以就在思考,用什么样的办法能让学生顺利的接受椭圆与双曲线的准线的存在,或者说能让这个准线呈现的过程更简单一些!

    在数学问题解决中,有一种思想方法叫做“特值法”,就是将一类问题用一个最简单的特殊情况呈现出来,在通过多种特殊情况的共性去理解一般情况特性。所以,我开始思考,既然椭圆与双曲线都具有这样的性质,不妨让学生从一个最简单的实际情况开始研究,尝试自己发现这个共同性质的存在。

于是我设计了这样的教学过程。

【引入】

师:前面我们已经学习了三种圆锥曲线,并研究了他们的各自的几何性质,同学们能否总结一下,我们都分别学习了他们哪些几何性质呢?

生:椭圆:范围、顶点、焦点、对称性、离心率

  双曲线:范围、顶点、焦点、对称性、离心率、渐近线

  抛物线:范围、顶点、焦点、对称性、准线

师:我们观察一下,三类圆锥曲线中,我们共同研究了他们的范围、顶点、焦点、对称性,特殊的研究了双曲线中的渐进线,但是在抛物线中没有去研究离心率,而在椭圆和双曲线中也没有研究准线,那么抛物线中有没有离心率呢?准线是不是也像双曲线一样是抛物线的特性呢?

我们就从这个特性开始研究。请问:准线是在什么情况下出现的呢?

生:抛物线的定义。

抛物线是平面内到一个定点F和一条定直线L(F不在L上)距离相等的点的轨迹。点F称为焦点,直线L称为准线。

师:从定义中我们可以感知到,平面内到一个定点F的距离和到一条定直线L(F不在L上)的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线。这是一个非常完美的定义,但是我们也需要思考,如果这个比值不等于1呢?会不会产生规则曲线呢?我们可以研究这个比值怎么变化呢?

生:这个比值可以大于1,或者也可以小于1.

师:不错,那么我们试试看如果这个比值分别为大于1和小于1的时候会不会给我们一个惊喜呢?请同学们尝试求解下面两个轨迹方程。

【学生探究】

问题1:求使得动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与到直线x=9/2的距离之比为2/3的轨迹方程。

问题2:求使得动点P(x,y)到定点F(3,0)的距离与到直线x=4/3的距离之比为3/2的轨迹方程。

(学生分两组独立完成解答,并给出答案)

生:问题1的答案是,问题2的答案是

师:那么这样的结果是必然的还是偶然的呢?

我们不妨再观察一下,两个问题中的定点与定直线,以及这个比值,跟我们得出的这两个方程之间到底有没有联系呢?试试观察两个方程的特征量。

(在学生的不断猜想和讨论中,学生可以得出较为肯定的答案)

生:定点为轨迹方程所对应的焦点(c,0),定直线为,比值为离心率

师:对于这两个特殊情况确实具有这样的特点,那么对于任意一般的情况,也会有这样的结论吗?

我们尝试证明任意情况:(即书上的例1略作修改,将原题a>c>0改为,方便对曲线的形式进行一次性讨论)

【证明猜想】

已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线L:的距离的比是常数),求点P的轨迹。

解:由已知

两边同时平方,整理可得:

因为,所以两边同时除以

得:

这个方程我们再熟悉不过了,那么它到底表示着什么样的曲线呢?

a>c时,不妨记,则方程整理得:表示为焦点在x轴上的椭圆。

a<c时,不妨记,则方程整理得:表示焦点在x轴上的双曲线。

从这个求解过程中,我们可以再次证明大家的猜想是正确的。说明平面内任意一点到一定点的距离与该点到一定直线(点不在直线上)的距离之比为一常数(不为1)的点的轨迹就是椭圆或者双曲线,而这个常数就是椭圆或者双曲线的离心率。

【整理结论】

现在再将抛物线的定义与之统一起来,我们就得到了椭圆、双曲线、抛物线的共同性质:

圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L(F不在定直线L上)的距离之比是一个常数e。这个常数e叫做圆锥曲线的离心率,定点F就是圆锥曲线的焦点,定直线L就是圆锥曲线的准线。

显然,椭圆的离心率满足0<e<1,双曲线的离心率e>1,抛物线的离心率e=1。

师:我们已经知道了椭圆和双曲线中同样存在着准线,那么准线的位置在哪呢?

(让学生尝试研究,或提醒学生注意特征数c,a,及之间的关系)

生:因为准线方程为:。其中在椭圆中,所以,椭圆的准线应该在椭圆右顶点的右侧。而双曲线中所以,双曲线的准线应该在原点与其右顶点之间。

师:那么椭圆或者双曲线是不是就一条准线呢?

(学生很容易可以猜想到,应该还有一条对称的准线)

所以,根据椭圆和双曲线的对称性,椭圆和双曲线都有两条准线,对于焦点在x轴上的椭圆或者双曲线,准线方程都是

我们同样也可以猜想到,焦点在y轴上的情况,准线方程是什么呢?

生:对于焦点在y轴上的椭圆或者双曲线,准线方程都是

【重点强调】

这里要特别注意的地方在于,椭圆和双曲线有两个焦点,有两条准线。而离心率表示的是曲线上的任一点到一焦点的距离与该店到其相应准线的距离的比值,不能任意选择焦点与准线的进行研究,否则就违背了离心率的真正定义。

同时还应该向学生说明,在共同性质中才真正给出了离心率的定义,前面所学到的利用计算离心率,只是恰巧可以通过这个特征量表示出这个数值,而这个比值并不是离心率的真正意义。其实离心率的定义也就是圆锥曲线的统一定义。

 

本节课至此,其实学生已经基本感知到了三种圆锥曲线的共同性质,对于圆锥曲线中的焦点、准线、离心率之间的密切联系。从本节课的授课效果来看,课堂教学的设计应该是比较符合学生的认知规律的,从共同发现问题,到引导学生尝试猜想,到共同解决问题,并且强化认识。学生确实理解了本节课的教学重点。这来源于本节课的切入点来源于两个特殊问题,在特殊问题中的共性中,猜想了一般问题的特性,再利用严格的证明推理证明猜想的成立。这可能比书本中从上而下的要求学生理解要更符合学生的认知规律。

但本节课可以再完善的地方在于,两个问题是由老师设计给出的,在课堂时间及学生的自主探究能力允许的情况下,其实可以大胆的让学生自己去设计定点,定直线以及这个定值,这个尝试完全可以作为一种数学问题研究提前布置给学生,充分调动学生的自主学习意识,培养合作探究的能力。

课本看似是一个个知识点的讲授,其实课本之外,更应该培养学生的分析问题、解决问题的能力。这才是数学真正应该给与学生的!   

在目前高考的压力下,课堂教学的重点越来越明显的呈现出应试的目标,很多锻炼学生思维能力的双基教学内容,变得枯燥变得死板,变得模式化,变成了生搬硬套。课堂需要留给学生独立思考的时间,应该留给学生独立探索的空间。高考只是学习生涯中的一次检测,而思维的成长过程却是不可逆的,让我们大胆的让学生去呈现自己的所思所想,他们会给我们更多的惊喜,让我们大胆的把课堂还给学生,他们会有更灿烂的明天。


[上一篇]:毕玉专